Eine Funktion wird durch die homogene Grad n bezeichnet, wenn während proportinaler Änderung aller Variablen durch die porportionality Faktor \ alpha alpha ^ ¤ ndert sich der Funktionswert um den Faktor \. Formal:

Eine Funktion, auf die k-dimensionalen reellen Vektorraum

\ Phi: \ mathbb {R} ^ k \ rightarrow \ mathbb {R}

heißt homogen vom Grad der n genau dann, wenn alle \ alpha gilt x_i \ in \ mathbb {R}

\ Phi (\ alpha x_1, \ ldots, \ alpha x_k) = \ alpha ^ n \ cdot \ Phi (x_1, \ ldots, x_k)

Funktionen dieser Art sind wichtig in den Wirtschaftswissenschaften und in den Naturwissenschaften zB.

Beispiele aus der Wirtschaftswissenschaft:

Individuelle Nachfragekurven x = x (p, E) stellen einen Zusammenhang zwischen den Preisen p, Einkommen E und den angefragten Mengen von x nach der Ware. Wenn es im Zuge einer Währungsreform (von DM auf Euro) zu einer Halbierung nach Höhe aller Preise und die Einkommen und wenn diese von den Individuen vollständig berücksichtigt (Freiheit von Geldillusion) kommt z. B. dann der angefragten Mengen werden nicht ändern. Das heißt es gilt

\ Alpha = 0 x = x (\ alpha p, \ alpha E)

Nachfragekurven sind somit homogen vom Grad Null in den Variablen der Preise und Einkommen.

Produktion Funktionen y = f (x_1, \ dots, x_n) Herstellung einer Verbindung zwischen den Eingängen x_i und dass die damit verbundenen Ausgabe y. Es kommt dann in der Chemie die Produktion, wenn proportional zu ändern (zB Vervielfältigung) alle Eingänge auf einen geeigneten proportional zu ändern (Vervielfältigung) der Ausgang möglicherweise gilt so in jedem Fall:

\ Alpha ^ 1 y = f (\ alpha x_1, \ dots, \ alpha x_n)

Eine solche Produktion Funktion wäre dann homogen mit der Homogenität Grad 1 (linear homogen).

Euler Satz

Die Euler Satz über homogene Funktionen stellt eine gleichwertige Charakterisierung:

n \ cdot \ Phi (x_1, \ ldots, x_k) = \ sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x_i} \ cdot x_i \, \, \ Leftrightarrow \; \; n \ cdot \ Phi (\ vec {x}) = \ vec {x} \ cdot \ nabla \ Phi (\ vec {x})

Eine homogene Funktion kann somit auf einfache Weise durch die partiellen Ableitungen und Koordinaten dargestellt werden.

Diese Tatsache ist sehr häufig in der Physik verwendet, insbesondere in der Thermodynamik, da die intensive und extensive Zustandsgrößen, die sich dort sind homogene Funktionen nullten und / oder ersten Grades.

In den Wirtschaftswissenschaften folgt dem Warenpreis p aus der Euler Satz für die Produktion Funktionen der Homogenität Grad von 1 mit den Faktorpreisen q_i und

y = f (x_1, \ ldots, x_k) = \ sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ cdot x_i = \ sum_ {i = 1} ^ k \ frac {q_i } {p} \ cdot x_i \, \; \ Rightarrow \, \, p \ cdot y = \ sum_ {i = 1} ^ k q_i \ cdot x_i

Mit linearen homogenen Produktionsfunktionen der Wert des Produktes ist gleich dem Faktor Kosten (Erschöpfung Theorem).

Artikel in der Kategorie "Homogene Funktion"

Wir fanden hier 8 Artikel.